गणित

गणित
गणितातील महत्वाची सूत्रे (भाग 1)

सरासरी :-

1) N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या

2) क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.

उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14

संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी

n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2

उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13

2) 1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10

3) N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2

उदा. 1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81x20/2 = 810

(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)

सरळव्याज :-

·         सरळव्याज (I) = P×R×N/100

·         मुद्दल (P) = I×100/R×N

·         व्याजदर (R) = I×100/P×N

·         मुदत वर्षे (N) = I×100/P×R

·         चक्रवाढव्याज  रास (A)= P×(1+R/100)n, n= मुदत वर्षे 

नफा तोटा :-

·         नफा = विक्री – खरेदी   

·         विक्री = खरेदी + नफा    

·         खरेदी = विक्री + तोटा

·         तोटा = खरेदी – विक्री   

·         विक्री = खरेदी – तोटा  

·         खरेदी = विक्री – नफा

·         शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी

·         शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष नफा × 100/ खरेदी

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100+ शेकडा नफा)/100

·         विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत × (100 – शेकडा तोटा) / 100

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 + शेकडा नफा)

·         खरेदीची किंमत = (विक्रीची किंमत × 100) / (100 – शेकडा नफा) 

आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :-

·         आयत -
आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)  
   

·         आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी

·         आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी   

·         आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी

·         आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.

·         आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.

·         चौरस -

·         चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी    

·         चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2

·         चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.

·         दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.

   समभुज चौकोण -

·         समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ    

·         = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2

·         समलंब चौकोण -

·         समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2

·         समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज

·         समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर

·         त्रिकोण -

·         त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2

·         काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ   

·         

·         = काटकोन करणार्‍या बाजूंचा गुणाकार/2

·         

·         पायथागोरस सिद्धांत -

·         काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2

प्रमाण भागिदारी :-

·         नफयांचे गुणोत्तर = भंडावलांचे गुणोत्तर × मुदतीचे गुणोत्तर

·         भंडावलांचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ मुदतीचे गुणोत्तर

·         मुदतीचे गुणोत्तर = नफयांचे गुणोत्तर ÷ भंडावलांचे गुणोत्तर

गाडीचा वेग – वेळ – अंतर :-

A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी/ताशी वेग × 18/5

B) पूल ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ = गाडीची लांबी + पूलाची लांबी / ताशी वेग × 18/5

C) गाडीचा ताशी वेग  = कापवयाचे एकूण एकूण अंतर / लागणारा वेळ  × 18/5

D) गाडीची लांबी  = ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

E) गाडीची लांबी + पूलाची लांबी = ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणारा वेळ × 5/18

F) गाडीची ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना 18/5 ने गुण व अंतर काढताना 5/18 ने गुणा.

1 तास = 3600 सेकंद / 1 कि.मी. = 1000 मीटर  = 3600/1000 = 18/5

G) पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने ताशी वेग) ÷ 2

H) गाडीने कापावायचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगध्याची लांबी

I) भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ

= वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक

लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज

गणितातील महत्वाची सूत्रे (भाग 2)
वर्तुळ -

1.    त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.

2.    वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.

3.    वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.

4.    जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

5.    व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.

6.    वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.

7.    वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.

8.    वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D

9.    अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7

10. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36

11. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

12. वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22  

13. वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30

14. अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2

15. अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36

16. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.

17. दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

घनफळ -

1.    इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

2.    काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची

3.    गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

4.    गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2    

5.    घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

6.    घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

7.    घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.

8.    घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2

9.    वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h

10. वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2

11. वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

इतर भौमितिक सूत्रे -

1.    समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची

2.    समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार

3.    सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

4.    वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

5.    वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr

6.    घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

7.    दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh

8.    अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

9.    अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

10. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

11. शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h 

12. समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

13. दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)

14. अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2

15. (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती) 

16. वक्रपृष्ठ = πrl

17. शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

बहुभुजाकृती -

1.    n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

2.    सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

3.    बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.

4.    n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.

5.    सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप

6.    बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर -

1.    1 तास = 60 मिनिटे    

2.    0.1 तास = 6 मिनिटे  

3.    0.01 तास = 0.6 मिनिटे

4.    1 तास = 3600 सेकंद    

5.    0.01 तास = 36 सेकंद  

6.    1 मिनिट = 60 सेकंद    

7.    0.1 मिनिट = 6 सेकंद

8.    1 दिवस = 24 तास
              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे 

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर -

1.    घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते.

2.    दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.

3.    दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.

4.    तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.

दशमान परिमाणे -

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

1.    100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल

2.    10 क्विंटल = 1 टन 
  
3.    1 टन = 1000 कि.ग्रॅ.

4.    1000 घनसेंमी = 1 लिटर 

5.    1 क्युसेक=1000घन लि.  

6.    12 वस्तू = 1 डझन 
  
7.    12 डझन = 1 ग्रोस  
    
8.    24 कागद = 1 दस्ता

9.    20 दस्ते = 1 रीम  

10. 1 रीम = 480 कागद.

विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध -

अ) अंतर –

1.    1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.

2.    1 से.मी. = 0.394 इंच

3.    1 फुट = 30.5 सेमी. 

4.    1 मी = 3.25 फुट

5.    1 यार्ड = 0.194 मी.
          
6.    1 मी = 1.09 यार्ड

ब) क्षेत्रफळ -   

1.    1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2

2.    1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2

3.    1 एकर = 0.405 हेक्टर

4.    1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे

5.    1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2

6.    1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल

7.    1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल
8.    1 गॅलन = 4.55 लिटर

क) शक्ती -   

1.    1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट

2.    1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी.

3.    ड) घनफळ -    1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2

4.    1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3

5.    क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3

6.    1 मी 3 = 35 फुट 3

7.    1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3

इ) वजन -   

1.    1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0

2.    1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम

3.    1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb)

वय व संख्या -

1.    दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2

2.    लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2

3.    वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.

दिनदर्शिका –

·         एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस

·         महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.

·         टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.

नाणी -

1.    एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज

2.    एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1

पदावली -

·         पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)

·         किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.

महत्वाची सुत्रे भाग ३

 

=> मूळसंख्या- फक्त त्याच संख्येने किंवा १ ने

पूर्ण भाग जाणारी संख्या,

 

=> समसंख्या - २ ने पूर्ण भाग जाणारी संख्या,

 

=> विषमसंख्या - २ ने भाग न जाणारी संख्या,

 

=> जोडमूळ संख्या- ज्या दोन मूळ संख्यांत केवळ

२ चा फरक असतो,

 

=> संयुक्त संख्या - मूळसंख्या नसलेल्या नैसर्गिक

संख्या.

 

=> संख्यांचे प्राथमिक क्रियाविषयक नियम

A)समसंख्या + समसंख्या= समसंख्या.

B)समसंख्या - समसंख्या= समसंख्या.

C)विषमसंख्या - विषमसंख्या = समसंख्या.

D)विषमसंख्या + विषमसंख्या= समसंख्या

E)समसंख्या × समसंख्या = समसंख्या.

F)समसंख्या × विषम संख्या = समसंख्या.

G)विषमसंख्या × विषमसंख्या= विषमसंख्या.

 

=> एक अंकी एकूण संख्या ९ आहेत तर

दोन अंकी ९०,

तीनअंकी ९०० आणि

चार अंकी एकूण संख्या ९००० आहेत.

 

=> ० ते १०० पर्यंतच्या संख्यांत-

।) २ पासून ९ पर्यंतचेअंक प्रत्येकी २० वेळा येतात.

।।) १ हा अंक २१ वेळा येतो.

।।।) ० हा अंक ११ वेळा येतो.

 

=> १ ते १०० पर्यंतच्या संख्यांत-

।) २ पासून ९ पर्यंतचे अंक असलेल्या एकूण

संख्या प्रत्येकी १९ येतात.

।।) दोन अंकी संख्यात १ ते ९ या अंकांच्या

प्रत्येकी १८ संख्या असतात.

 

=> दोन अंकांमधून एकूण २ संख्या,

तीन अंकांमधून एकूण ६ संख्या,

चार अंकांमधून एकूण २४ संख्या व

पाच अंकांमधून एकूण १२० संख्या तयार होतात.

 

=> विभाज्यतेच्या कसोटय़ा

A)२ ने नि:शेष भाग जाणारी संख्या -

संख्येच्या एककस्थानी ०, २, ४, ६, ८ यापैकी

कोणताही अंक असल्यास.

 

B)३ ची कसोटी-

संख्येच्या सर्व अंकांच्या बेरजेला ३ ने नि:शेष

भाग जात असल्यास.

 

C)४ ची कसोटी-

संख्येच्या शेवटच्या २ अंकांनी तयार होणाऱ्या

संख्येला ४ ने नि:शेष भाग जात असल्यास

अथवा संख्येच्या शेवटी कमीतकमी दोन शून्य

असल्यास.

 

D)५ ची कसोटी-

संख्येच्या एकक स्थानचा अंक जर ० किंवा ५

असल्यास.

 

E)६ ची कसोटी-

ज्या संख्येला २ व ३ या अंकांनी नि:शेष भाग

जातो त्या संख्यांना ६ ने नि:शेष भाग जातोच

किंवा ज्या सम संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला ३

ने भाग जातो त्या संख्येला ६ ने निश्चित भाग जातो.

 

F)७ ची कसोटी-

संख्येतील शेवटच्या ३ अंकांनी तयार

होणाऱ्या संख्येतून डावीकडील उरलेल्या

अंकांनी तयार झालेली संख्या वजा करून

आलेल्या संख्येस ७ ने नि:शेष भाग गेल्यास त्या

संख्येला ७ ने नि:शेष भाग जातो.

 

G)८ ची कसोटी-

संख्येतील शेवटच्या तीन अंकांनी

तयार होणाऱ्या संख्येला ८ ने निशेष भाग जात

असल्यास किंवा संख्येत शेवटी कमीतकमी ३

शून्य असल्यास त्या संख्येला ८ ने निशेष भाग

जातो किंवा ज्या संख्येच्या शतकस्थानी २ हा अंक

असतो व जिच्या अखेरच्या दोन अंकी संख्येला ८

ने भाग जातो त्या संख्येला ८ ने भाग जातो.

 

H)९ ची कसोटी-

संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला९ ने निशेष

भाग जातो.

 

I)११ ची कसोटी-

ज्या संख्येच्या विषम स्थानच्या

या समस्थानच्या अंकांची बेरीज अथवा ११च्या

पटीत असल्यास त्या संख्येला ११ ने निशेष भाग

जातो. एक सोडून १ अंकांची बेरीज समान असते

किंवा फरक ० किंवा ११ च्या पटीत असतो.

 

J)१२ ची कसोटी-

ज्या संख्येला ३ व ४या अंकांनी निशेष भाग जातो

त्या संख्येला १२ ने भाग जातो.

 

K)१५ ची कसोटी-

ज्या संख्येला ३ व ५ अंकानी निशेष भाग जातो

त्या संख्येला १५ ने भाग जातो.

 

K)३६ ची कसोटी-

ज्या संख्येला ९ व ४ ने निशेष

भाग जातो त्या संख्येला ३६ ने भाग जातो.

 

L)७२ ची कसोटी-

ज्या संख्येला ९ व ८ ने निशेष

भाग जातो त्या संख्येला ७२ ने भाग जातो.

लसावि - लघुत्तम सामाईक विभाज्य संख्या:

दिलेल्या संख्यांनी ज्या लहानात लहान

संख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या

 

=> मसावि - महत्तम सामाईक विभाजक संख्या:

दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठय़ात मोठय़ा संख्येने

(विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या

 

=> प्रमाण भागिदारी

 

A)नफ्यांचे गुणोत्तर= भांडवलांचे गुणोत्तर ×

मुदतीचे गुणोत्तर,

 

B)भांडवलांचे गुणोत्तर= नफ्यांचे गुणोत्तर+

मुदतीचे गुणोत्तर,

 

C)मुदतीचे गुणोत्तर = नफ्यांचे गुणोत्तर ÷ भांडवलाचे गुणोत्तर.

 

=> गाडीचा वेग-वेळ-अंतर

A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ =

गाडीची लांबी ÷ ताशी वेग × १८/५

 

B) पूल ओलांडताना गाडीला लागणारा वेळ =

गाडीची लांबी + पुलाची लांबी ÷

ताशी वेग × १८/५

 

C) गाडीचा ताशी वेग=

कापावयाचे एकूण अंतर ÷ लागणारा वेळ ×

१८/५

 

D) गाडीची लांबी=

ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा

वेळ × ५/१८

 

E) गाडीची लांबी + पुलाची लांबी = ताशी वेग

× पूल ओलांडताना लागणारा वेळ + ५/१८

 

F) गाडीचा ताशी वेग व लागणारा वेळ

काढताना १८/५ ने गुणा व अंतर काढताना ५/१८ ने

गुणा

 

G) पाण्याच्या प्रवाहाचा ताशी वेग=

नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग - प्रवाहाच्या

विरुद्ध दिशेने ताशी वेग ÷ २

 

=> सरासरी

A) X संख्यांची सरासरी= दिलेल्या संख्येची बेरीज

भागिले X

 

B) क्रमश:संख्याची सरासरी ही मधली संख्या असते.

 

C) X संख्यामान दिल्यावर ठराविक

संख्यांची सरासरी =

(पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ X

 

D) X या क्रमश: संख्याची बेरीज =

(पहिली संख्या + शेवटची संख्या) ×X ÷ २

 

=> सरळव्याज

 

A)सरळव्याज=मुद्दल × व्याजदर × मुदत ÷१००

 

B)मुद्दल=सरळव्याज × १०० ÷ व्याजदर × मुदत

 

C)व्याजदर =सरळव्याज × १०० ÷ मुद्दल × मुदत

 

D)मुदत वर्षे=सरळव्याज×१००÷ मुद्दल×व्याजदर

 

=> नफा-तोटा

A)नफा =विक्री- खरेदी,

 

B)विक्री = खरेदी + नफा,

 

C)खरेदी = विक्री+ तोटा,

 

D)तोटा = खरेदी - विक्री

 

E)शेकडा नफा=प्रत्यक्ष नफा × १०० ÷ खरेदी

 

F)शेकडा तोटा = प्रत्यक्ष तोटा × १०० ÷खरेदी

 

G)विक्रीची किंमत = खरेदीची किंमत ×(१००+

शेकडा नफा) ÷१००

 

H)खरेदीची किंमत =

(विक्रीची किंमत ×१००)÷

(१००+ शेकडा नफा)

 

वर्तुळ :

 

त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्याे रेशखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.

वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.

 

वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.

 

जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्याा रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

 

व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.

वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.

 

वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.

वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D

 

अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7

 

अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

 

वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22

 

वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30

 

अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2

 

अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36

 

दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.

दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

 

घनफळ

 

इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

 

काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची

 

गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

 

गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2

 

घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

 

घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.

 

घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2 वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे)

 

घनफळ = π×r2×h

 

वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2

 

वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

 

इतर भौमितिक सूत्रे

 

समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची

 

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार

 

सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

 

वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

 

वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πrघनाकृतीच्या सर्व

 

पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

 

दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh

 

अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

 

अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

 

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

 

शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

 

दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)

 

अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2

(S=1/2(a+b+c) = अर्ध परिमिती)

वक्रपृष्ठ = πrl

शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r(r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

 

बहुभुजाकृती

 

n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4काटकोन असते.

n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.

सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप

बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

 

आयात, चौरस, त्रिकोण, कोन :

 

आयताची परिमिती = 2×(लांबी+रुंदी)

आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी×रुंदी

आयताची लांबी = (परिमिती ÷ 2) – रुंदी

आयताची रुंदी =(परिमिती÷2) – लांबी

आयताची रुंदी दुप्पट व लांबी निमपट केल्यास क्षेत्रफळ तेवढेच राहते.

आयताची लांबी व रुंदी दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.

चौरसाची परिमिती= 4×बाजूची लांबी

चौरसाचे क्षेत्रफळ=(बाजू)2 किंवा (कर्ण)2/2

चौरसाची बाजू दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट होते.

दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या बाजूंच्या मापांच्या वर्गाच्या पटीत असते.

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार/2

समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज×लंबांतर/2

समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ×2/समांतर बाजूंची बेरीज

समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ×2/लबांतर

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची/2

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = काटकोन करणार्याे बाजूंचा गुणाकार/2

पायथागोरस सिद्धांत काटकोन त्रिकोणात (कर्ण)2 = (पाया)2+(उंची)2

काटकोन त्रिकोणाचा प्रमेय 1

कोन 300 च्या समोरील 600 च्या समोरील 900 च्या समोरील

बाजू X X√3 2X

कोन 450 च्या समोरील 450 च्या समोरील 900 च्या समोरील

बाजू X X X√2

काटकोन त्रिकोणाचा प्रमेय 2

त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज 1800 असते.

दोन कोटिकोनांच्या मापांची बेरीज 900 असते. मुळकोन = (90-कोटिकोन)0

दोन पूरककोनांच्या मापांची बेरीज 1800 असते. मुळकोन = (180-पूरककोन)0

मुळकोनांचा पूरककोन + कोटिकोन = [(90+2(कोटिकोन)0]

काटकोन 900 चा असतो, तर सरळ्कोन 1800 चा असतो.

 

बैजीक राशीवरील महत्वाची सूत्रे :

 

a×a = a2

(a×b)+(a×c)=a(a+c)

a×b+b=(a+1) ×b

(a+b)2=a2 + 2ab+b2

(a-b)2=a2 +2ab+b2

a2-b2 = (a+b)(a-b)

a2-b2/a+b =a-b a2-b2/a-b = a+b

(a+b)3/(a+b)2 = a+b (a+b)3/(a-b) = (a+b)2

(a-b)3 / (a+b)2 = (a-b) (a-b)3/(a-b) = (a+b)2

a3 – b3 = (a-b) (a2+ab+b2)

a×a×a=a3

(a×b)-(a×c) = a(b-c)

a×b-b = (a-1) × b ;

a2+2ab+b2/a+b = (a+b)

a2-2ab+b2/a-b = (a-b)

(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3 = a3- 3a2b+3ab2+ b3

a3 + b3 = (a+b) (a2-ab+b2)

:: a3+b3 / a2-ab+b2 =(a-b)

पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार,बेरीज,वजाबाकी.

वर्तुळ :

 

त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्याे रेशखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.

वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.

वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.

जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्याा रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.

वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.

वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.

वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D

अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7

अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22

वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30

अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2

अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36

दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.

दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

 

घनफळ

 

इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची

गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)

गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2 घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3

घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.

घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2 वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h

वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2

वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

 

इतर भौमितिक सूत्रे

 

समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार

सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh

अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)

अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2

(S=1/2(a+b+c) = अर्ध परिमिती)

वक्रपृष्ठ = πrl

शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r(r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

 

बहुभुजाकृती

 

n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4काटकोन असते.

n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.

सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप

बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

 

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर

 

1 तास = 60 मिनिटे, 0.1 तास = 6 मिनिटे, 0.01 तास = 0.6मिनिटे1 तास = 3600 सेकंद, 0.01 तास = 36 सेकंद 1 मिनिट = 60 सेकंद, 0.1 मिनिट = 6 सेकंद1 दिवस = 24 तास = 24 × 60 = 1440 मिनिटे = 1440 × 60 = 86400 सेकंद

 

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर

 

घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते

दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.

दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो

तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.

 

वय व संख्या :

 

दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक)÷2

लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक)÷2

वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.

 

दिनदर्शिका :

 

एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस

महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.

टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.

 

नाणी :

 

एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज

एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1

 

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर

 

1 तास = 60 मिनिटे, 0.1 तास = 6 मिनिटे, 0.01 तास = 0.6मिनिटे1 तास = 3600 सेकंद, 0.01 तास = 36 सेकंद 1 मिनिट = 60 सेकंद, 0.1 मिनिट = 6 सेकंद1 दिवस = 24 तास = 24 × 60 = 1440 मिनिटे = 1440 × 60 = 86400 सेकंद

 

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर

 

घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते

दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.

दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो

तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेचमिनिटकाट्यास 10भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.

 

वय व संख्या :

 

दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक)÷2

लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक)÷2

वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.

 

दिनदर्शिका :

 

एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस

महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.

टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.

 

नाणी :

 

एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज

एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1

 

 

बैजीक राशीवरील महत्वाची सूत्रे

1. a×a = a2

 

2. (a×b) + (a×c) = a (a+c)

 

3. a × b + b= (a+1) × b

 

4. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 

5. (a-b)2 = a2 + 2ab + b2

 

6. a2-b2 = (a+b) (a-b)

:: a2-b2 / a+b = a-b a2-b2/a-b = a+b

:: (a+b)3 / (a+b)2 = a+b (a+b)3 / (a-b) = (a+b)2

:: (a-b)3 / (a+b)2 = (a-b) (a-b)3 / (a-b) = (a+b)2

 

7. a3 – b3 = (a-b) (a2 + ab+ b2)

 

8. a × a × a = a3

 

9. (a×b) - (a×c) = a (b-c)

 

10. a × b- b = (a-1) × b ;

:: a2 + 2ab + b2 / a+b = (a+b)

:: a2 - 2ab + b2 / a-b = (a-b) 

11. (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

12. (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

 

13. a3 + b3 = (a+b) (a2-ab+b2)

:: a3+b3 / a2-ab+b2 = (a-b)

 
गणित : संकल्पना, व्याप्ती व तयारी

स्पर्धा परीक्षेतील ‘गणित’ विषयाचा अभ्यास करताना गणितात वापरलेल्या मूलभूत संकल्पनांचा शोध घेणे,  क्लृप्त्या तयार करणे आवश्यक ठरते. त्याविषयी..

स्पर्धा परीक्षांमधील गणित विषयाचा अभ्यासक्रम व त्याच्या तयारीबाबत माहिती घेऊयात. शालेय स्तरावरील गणित हा विषय अभ्यासणे ते व्यावहारिक उपयोगासाठी गणिताचा वापर करणे या सर्व गोष्टीवर आधारित प्रश्न स्पर्धा परीक्षांमध्ये विचारले जातात.

मागील काही वर्षांमध्ये महाराष्ट्र लोकसेवा आयोगाद्वारे घेण्यात येणाऱ्या विविध पदांसाठीच्या परीक्षांमध्ये गणित या विषयावर विचारल्या जाणाऱ्या प्रश्नांची काठीण्यपातळी इतर स्पर्धा परीक्षांच्या तुलनेत थोडी कमी होती. परंतु सध्याच्या काळात ही काठीण्यपातळी खूपच वाढल्याचे दिसून येते. स्पर्धा परीक्षेतील प्रश्नांची संख्या व उत्तरे देण्यासाठी असलेला कमी वेळ याची सांगड घालणे आवश्यक असते. बऱ्याचदा परीक्षार्थीचा असा गोड गरसमज असतो की, काही ‘तयार’ (Readymade) क्लृप्त्यांचा वापर करून उदाहरणे ‘कमी वेळेत’ सोडविता येतात. सर्वप्रथम हे लक्षात घेणे आवश्यक आहे की क्लृप्ती तयार होण्यामागे कोणत्या मूलभूत संकल्पना वापरलेल्या आहेत त्याचा शोध घेणे वा क्लृप्त्या स्वत: तयार करणे आवश्यक आहे.

स्पर्धा परीक्षेतील गणित या विषयाचा अभ्यासक्रम हा शालेय पाठय़पुस्तकातील गणित विषयाच्या अभ्यासक्रमावरच आधारित असतो. त्यासाठी प्रत्येकाने दहावीपर्यंत असलेल्या गणित विषयातील सर्व संकल्पना समजून घेणे आवश्यक ठरते. गणित या विषयाचा अभ्यासक्रम विचारात घेतल्यास यामध्ये मूलभूत अंकगणित, बीजगणित, व्यावसायिक गणित व भूमिती इ. उपघटकांचा समावेश होतो. आता प्रत्येक उपघटकाच्या अभ्यासक्रमाचा सविस्तरपणे विचार करू.

मूलभूत अंकगणित – यामध्ये संख्याज्ञान-संख्याबद्दल वस्तुनिष्ठ माहिती व संख्याचे प्रकार; गणिती क्रिया- बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार; अपूर्णाक- प्रकार व उदाहरणे; म.सा.वि. व ल.सा.वि. काढण्याच्या पद्धती व उदाहरणे; वर्ग व वर्गमूळ; घन व घनमूळ; घातांक व करणी; श्रेणी इ. प्रकरणांचा समावेश होतो.

बीजगणित- यामध्ये बजिकराशी व क्रिया; बहुपदी व क्रिया; सरळरूप देणे; समीकरणे- एका चलातील, दोन चलातील रेषीय समीकरणे; एकसामाईक समीकरणे, वर्गसमीकरणे व त्यांची उकल; आलेखातील रेषांची समीकरणे इ. प्रकरणांचा समावेश होतो.

व्यावसायिक गणित – यामध्ये सरासरी, शतमान, नफा- तोटा व सूट, व्याज, दशमान पद्धतीतील परिमाणे, चलन गुणोत्तर व प्रमाण, भागीदारी, मिश्रण, काळ, काम, वेग, वेळ, अंतर, आगगाडय़ा व आगबोटीवरील प्रश्न, वस्तूंच्या क्रमाने जास्तीत जास्त प्रकारे मांडण्यासंदर्भातील शक्यता (Permutations) वा निवडींच्या शक्यता (Combinations) आणि संभाव्यता (Probability) या प्रकरणांचा समावेश होतो.

भूमिती- यामध्ये निर्देशक भूमिती, भूमितीतील मूलभूत संकल्पना; द्विमितीय भूमिती; महत्त्वमापन; त्रिकोणमिती इ. प्रकरणांचा समावेश होतो.

मूलभूत अंकगणित- या उपघटकांतील संख्याज्ञान या प्रकरणाचा सविस्तर आढावा घेऊ. संख्यांबद्दल जी वस्तुनिष्ठ माहिती आहे त्यामध्ये एक अंकी संख्या 9 आहेत, दोन अंकी संख्या 90 आहेत, तीन अंकी संख्या 900 आहेत, चार अंकी संख्या 9000 आहेत. याप्रमाणे, या माहितीवर आधारित व्यावहारिक उपयोगावर आधारित प्रश्न विचारला जातो. जसे उदा. 366 पृष्ठे असलेल्या पुस्तकातील सर्व पृष्ठांवर क्रमांक देण्यासाठी एकूण किती अंक वापरावे लागतील?

येथे पहिल्या 9 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी एक याप्रमाणे 9 अंक, पुढील 90 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी दोन याप्रमाणे 180 अंक आणि उरलेल्या 267 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी 3 याप्रमाणे 801 अंक असे एकूण 9 + 180 + 801 = 990 अंक वापरावे लागतील. जर याच्या उलट प्रश्न विचारला तर विरुद्ध दिशेने जावे लागेल. उदा. एका मुद्रकाने त्याच्या पुस्तकातील सर्व पृष्ठांवर क्रमांक देण्यासाठी एकूण 4893 अंक वापरले तर त्या पुस्तकात एकूण किती पृष्ठे आहेत? वरील उदाहरणाप्रमाणे पहिल्या 9 पृष्ठांसाठी 9 अंक, पुढील 90 पृष्ठांसाठी 180 अंक त्याचप्रमाणे त्या पुढील 900 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी तीन असे 2700 अंक लागतील म्हणजेच 9 + 90 + 900 = 999 पृष्ठांसाठी एकूण 9 + 180 + 2700 = 2889 अंक लागतील. 4893 अंकांपकी 2889 अंक वापरल्यानंतर 4 अंकी संख्यांसाठी फक्त 2004 अंक उरतील. त्यातून 4 अंकी 501 संख्या तयार होतील. म्हणून पुस्तकातील एकूण पृष्ठे = 999 + 501 = 1500.

संख्याबद्दल वस्तुनिष्ठ माहितीनुसार 1 ते 100 संख्यांदरम्यान येणाऱ्या सर्व संख्यांमध्ये

a) 1 हा अंक 21 वेळा आणि 2 ते 9 पकी कोणताही अंक प्रत्येकी 20 वेळा येतो.

b) 1 हा अंक असणाऱ्या 20 संख्या आहेत आणि 2 ते 9 पकी कोणताही अंक असणाऱ्या प्रत्येकी 19 संख्या आहेत.

c) 1 हा अंक फक्त एकदाच असणाऱ्या 19 संख्या आहेत आणि 2 ते 9 पकी कोणताही अंक फक्त  एकदाच असणाऱ्या प्रत्येकी 18 संख्या असतात. या माहितीवर आधारित विविध काठीण्यपातळीवर प्रश्न विचारले जातात.

उदा. (1) 501 ते 700 दरम्यान येणाऱ्या सर्व संख्यांमध्ये 6 हा अंक किती वेळा येतो?

501 ते 599 या संख्यांमध्ये 6 अंक 20 वेळा येतो. त्याचप्रमाणे 601 ते 700 या संख्यांमध्ये फक्त एकक व दशक स्थानी एकत्रितपणे 6 हा अंक 20 वेळा येतो आणि 600 ते 699 या 100 संख्यांमध्ये 6 हा शतक स्थानी असल्याने तो 100 वेळा येतो. म्हणून 6 हा अंक एकूण 20 + 20 + 100 = 140 वेळा येतो.

उदा. (2) 301 ते 500 या संख्यादरम्यान येणाऱ्या सर्व संख्यांमध्ये 4 हा अंक फक्त एकदाच येतो अशा एकूण किती संख्या आहेत?

301 ते 399 या संख्यांमध्ये 4 हा अंक फक्त एकदाच येतो अशा 18 संख्या आहेत. 400 ते 499 या 100 संख्यांमध्ये 4 हा अंक एकक व दशकस्थानी असणाऱ्या 19 संख्या आहेत याचा अर्थ 100 पकी 81 संख्यांमध्ये 4 हा अंक फक्त शतक स्थानी आहे. यावरून अपेक्षित संख्या = 18 + 18 = 99 होय.

संख्यांचे प्रकार – गणितातील संख्यांमध्ये वास्तव संख्यांचे परिमेय संख्या व अपरिमेय संख्या असे दोन प्रकार आहेत. जी संख्या p / q  या स्वरूपात लिहिता येते तिला परिमेय संख्या म्हणतात. येथे p व q कोणत्याही दोन पूर्णाक संख्या असून ही शून्येत्तर असते.

उदा. 1/2 , 1/34, 5, 0  इ.

परिमेय संख्यांमध्ये नसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णाक संख्या, व्यवहारी अपूर्णाक, खंडित व आवर्ती दशांश, अपूर्णाक या संख्यांचा समावेश होतो तर अपरिमेय संख्या या अखंडित अनावर्ती दशांश अपूर्णाक असतात.

उदा. √2, √3, π√5

क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या, त्यांच्या वर्गाच्या वा घनांच्या बेरजेच्या सूत्रांवर आधारित विविध प्रश्न विचारले जातात.

(1)    एका विद्यार्थ्यांने पहिल्या काही क्रमवार नसर्गिक संख्यांची बेरीज करताना एक संख्या वगळली. त्यामुळे त्याची बेरीज 52 आली तर त्याने कोणती संख्या वगळली?

आपणास माहीत आहे की पहिल्या 10 क्रमवार नसर्गिक संख्यांची बेरीज 55 असते. ज्या अर्थी बेरीज 52 आलेली आहे. त्याअर्थी त्या विद्यार्थ्यांने 55 – 52 = 3 ही संख्या वगळलेली आहे. या उदाहरणातील 52 या संख्येऐवजी मोठी संख्या असती तर क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या बेरजेचे सूत्र n(n+1)/2      वापरून n च्या लहानात लहान किंमतीला वगळलेली संख्या शोधता येते.

(2)    दोन क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या वर्गातील फरक 37 आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?

लहान संख्या ७ मानू. यावरून, मोठी संख्या = (x+1)

दिलेल्या माहितीवरून,

(x + 1)2 ७2 = 37

x2 + 2x +1 x2 = 37

2x + 1= 37; 2x = 36; x = 18

यावरून, त्या दोन संख्या 18 व 19 आहेत,

क्लृप्ती – दोन क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या वर्गातील फरक हा त्यांच्या बेरजेइतका असतो.

(3)    एका परीक्षेत प्रत्येक बरोबर उत्तरासाठी 6 गुण दिले जातात व प्रत्येक चुकीच्या उत्तरासाठी 3 गुण वजा केले जातात. एका उमेदवाराने त्या परीक्षेतील सर्व म्हणजे 100 प्रश्न सोडविले व त्यास एकूण 474 गुण मिळाले तर त्या उमेदवाराने किती प्रश्नांची उत्तरे बरोबर दिली?

* पद्धत (1) : समजा त्या उमेदवाराने x प्रश्नांची उत्तरे बरोबर दिली.  ज्या प्रश्नांची उत्तरे चुकली त्यांची संख्या = 100 – x दिलेल्या माहितीवरून, 6x – 3100 – x = 474, 6x – 300 + 3x = 474, 9 x = 474 , x = 86 यावरून त्याने 86 प्रश्नांची उत्तरे बरोबर दिली.

* पद्धत (2) : त्या परीक्षेतील कमाल गुण = 100 x 6 = 600 उमेदवारास मिळालेले गुण = 474 कमी झालेले गुण  = 600 – 474 = 126 एका प्रश्नाचे उत्तर चुकल्यास 6 + 3 = 9 गुण 600 मधून कमी होतात. म्हणून चुकीची उत्तरे दिलेल्या प्रश्नांची संख्या = 126 ÷ 9 = 14

बरोबर उत्तरांची संख्या = 100 – 14 = 86.

(कमी वेळेत उत्तर आणण्यासाठी दुसऱ्या पद्धतीचा वापर करता येईल.)

(4) माणसांच्या एका गटात 40 जोडपी आहेत उरलेले लोक एकेकटे आहेत. एकएकटय़ा पुरुषांचे एकेकटय़ा स्त्रियांशी 2 : 1 गुणोत्तर आहे. एकूण पुरुषांचे एकूण स्त्रियांशी 3 : 2 गुणोत्तर आहे. तर त्या गटातील एकूण पुरुष किती?

पर्याय – (40, 80, 120, 200)

* दिलेल्या प्रश्नातील माहितीवरून एकूण पुरुष व एकूण स्त्रिया यांचे गुणोत्तर 3 : 2. याचा अर्थ एकूण पुरुषांच्या संख्येला 3 ने पूर्ण भाग जायला हवा. पर्यायांमध्ये 3 ने पूर्ण भाग जाणारी एकमेव संख्या 120 आहे यावरून एकूण पुरुषांची संख्या 120 येईल. अशा उदाहरणांमध्ये पर्यायांचा विचार केल्यास कमी वेळेत उत्तर येते.

मूलभूत अंकगणितातील इतर प्रकरणांमध्ये गणिती क्रियांवर आधारित सर्व नियम माहीत करून घेणे आवश्यक आहे. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार सुलट व उलट क्रमाने विचारात घ्यावेत. भागाकारामध्ये प्रत्यक्ष भागाकार, विभाज्यतेच्या कसोटय़ा आणि शेष सिद्धांतावर आधारित प्रश्न विचारले जातात. अपूर्णाकामध्ये सोप्या आकडेमोडीपासून शाब्दिक उदाहरणांपर्यंत प्रश्न विचारले जातात. वर्ग, वर्गमूळ व घन, घनमूळ या संकल्पनांमुळे आकडेमोड वेगाने होण्यास मदत होते. अंकगणितातील सर्व प्रकरणांचा तपशिलवार अभ्यास ‘सामान्य मानसिक क्षमता’ यावरील प्रश्न सोडविण्यासाठी फायदाचा ठरतो.

‘बीजगणित’ हा गणितातील एक भाग शालेय स्तरावर अभ्यासला जातो. साधारणपणे संख्या व चलांच्या आधारे तयार होणाऱ्या पदांचा यात समावेश होतो. बजिक राशी, बहुपदी व त्यांचे अवयव इ. गोष्टी समीकरणे तयार करण्यासाठी वापरल्या जातात. निर्देशक भूमितीमध्ये रेषांच्या समीकरणासाठी याचा उपयोग होतो. जसे ७ अक्षाचे समीकरण

y = 0 आणि y – अक्षाचे समीकरण x = 0 या बाबीपासून y = mx,  y = mx + h, x/a + y/b =1

ही आलेखातील समीकरणे असतात. बीजगणितामुळे शाब्दिक उदाहरणातील समीकरण तयार करणे सोपे होते. समीकरणांवर आधारित काही उदाहरणे पाहू.

उदा. (1) मेंढय़ा व मेंढपाळांच्या एका गटात एकूण पायांची संख्या ही एकूण डोक्यांच्या संख्येच्या दुपटीपेक्षा 16 ने जास्त आहे, तर त्या गटातील एकूण मेंढय़ा किती?

मेंढय़ांची संख्या ‘x’ व मेंढपाळांची संख्या y मानू

पायांची एकूण संख्या  = 4x + 2y डोक्यांची एकूण संख्या = x + y

दिलेल्या माहितीवरून,

4x + 2y = (2x + y)+ 16

∴   4x + 2y = 2x + 2y + 16

2x = 16; x = 8  म्हणून मेंढय़ांची संख्या ही 8 आहे.

उदा. (2)  एका स्पध्रेत काही खेळाडूंनी भाग घेतला. या स्पध्रेत प्रत्येक खेळाडूला प्रत्येक खेळाडूशी प्रत्येकी एक सामना खेळायचा होता. परंतु प्रत्येकी तीन सामने खेळल्यानंतर त्यातील तीन खेळाडू आजारी पडल्याने स्पर्धा सोडून गेले. त्यामुळे स्पध्रेत एकूण 75 सामने खेळले गेले, तर सुरुवातीला स्पध्रेत एकूण किती खेळाडूंनी भाग घेतला होता?

समजा, ‘x’ खेळाडूंनी भाग घेतला होता.

स्पध्रेतील खेळले जाणारे एकूण सामने

(x-1)+(x-2) + (x-3) ..3+2+1   x(x -1)2

न खेळलेले सामने    (x – 1)-3 = (x – 6);

(x – 2) – 3 = (x – 5) आणि

(x – 3) – 3 = (x – 6)

यावरून,

x (x -1)/2     = 75 + x 4 + x5 + x6

∴    x (x – 1)/2     = 3x + 60

∴    x2 – x = 6x + 120

∴    x2 – 7x – 120 = 0

हे वर्ग समीकरण तयार होते.

∴   (x – 15) (x + 8) = 0

∴    x = 15 किंवा x = -8

∴    x = 15 =  खेळाडूंची संख्या

व्यावसायिक गणित- यातील प्रकरणांचा अभ्यास हा मूलभूत अंकगणितातील व बीजगणितातील संकल्पनांवर आधारलेला असतो. जसे शतमान व गुणोत्तर व प्रमाण या प्रकरणांसाठी अपूर्णाक ही संकल्पना स्पष्ट असणे आवश्यक आहे. तसेच शतमान ही संकल्पना नफा-तोटा, सूट, व्याज या प्रकरणांसाठी गुणोत्तर व प्रमाण ही संकल्पना काळ, काम, वेग, अंतर या प्रकरणांसाठी उपयुक्त ठरते.

कोणत्याही प्रकरणातील सुरुवात समजावून घेणे आवश्यक असते. शतमान या प्रकरणाच्या तयारी संदर्भात त्याचा अर्थ, अपूर्णाक व टक्के यांच्यातील रूपांतरे, संख्यांच्या टक्केवारीतील तुलना, एखाद्या संख्येत काही टक्के मिळविणे वा संख्येतून काही टक्के वजा करणे या मूलभूत संकल्पना आहेत. याच्या आधारे परीक्षार्थी जितका जास्तीत जास्त सराव करतो तितक्या वेगवेगळ्या प्रकारची उदाहरणे सोडविता येतात. परीक्षा कक्षात उदाहरणे सोडविताना वेळ वाचविण्यासाठी तशा प्रकारच्या प्रश्नांची सामन्यतत्त्वानुसार तयारी केली पाहिजे तसेच उदाहरणात ज्या दृष्टिकोनातून माहिती दिलेली आहे तोच दृष्टिकोन उदाहरण सोडविताना असला पाहिजे जसे.

उदा. (1) एका शहराची लोकसंख्या दरवर्षी 5% नी वाढते. या वर्षी त्या शहराची लोकसंख्या 42 हजार आहे, तर गेल्या वर्षी ती किती होती?

गेल्या वर्षी त्या शहराची लोकसंख्या x मानू,

म्हणून यावर्षी लोकसंख्या = x +   5/100 x

यावरून,

x +   5/100 x = 42000

105/100  x = 42000

x = 42000 X 100/105     = 40,000 म्हणून गेल्या वर्षी त्या शहरांची लोकसंख्या 40 हजार होती.

उदा. (2)  वर्तुळाची त्रिज्या 10% नी वाढविल्यास वर्तुळाचे क्षेत्रफळ किती टक्क्यांनी वाढेल?

भूमितीतील क्षेत्रफळ, पृष्ठफळ व घनफळ आणि शतमान यांच्या संबंधावरील प्रश्नांमध्ये नेहमी वर्तुळाची त्रिज्या/ चौरसाची बाजू/ घनाची बाजू/ घनगोलाची त्रिज्या/ दंडगोलाची तळाची त्रिज्या व उंची/ शंकूची तळाची त्रिज्या व उंची प्रत्येकी 10 एकक मानणे आवश्यक आहे. कारण क्षेत्रफळ व पृष्ठफळ 100 च्या पटीत आणि घनफळ 1000 च्या पटीत विचारात घेता येते.

यावरून, पहिल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ =  = πr²

= π(10)2

= 100π चौ. एकक

दुसऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या = 10 + 10 चे 10% = 11 एकक

दुसऱ्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π(11)2 = 121πचौ. एकक

क्षेत्रफळातील वाढ = 121π – 100π= 21%

अशाप्रकारे कोणत्याही संख्येची 100 या संख्येशी तुलना केल्यास उदाहरणे कमी वेळेत सोडविता येतात.

Permutation & Combination या प्रकरणातील प्रश्नांसाठी प्रत्येकी केवळ एकच सूत्र असते, मात्र विविध अटींनुसार प्रश्न सोडविण्यासाठी परीक्षार्थीने त्या सूत्रांमध्ये  आवश्यक तो बदल करणे आवश्यक ठरते. एखाद्या समूहातील सर्व किंवा काही घटकांची वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त किती प्रकारे मांडणी करता येणे शक्य आहे त्यांची संख्या म्हणजे Permutation होय. त्यामुळे यामध्ये क्रमाला महत्त्व असते.

सूत्र, = npr =   n!/(n-r)!

n! = n(n – 1) (n – 2) (n – 3) …X 3 x 2 x 1

n = एकूण घटक आणि r = प्रत्येक गटातील घटकांची संख्या

उदा. A, B, C व D  या चार मित्रांचे प्रत्येक फोटोमध्ये सर्वाचा समावेश आहे असे वेगवेगळ्या क्रमातील जास्तीत जास्त किती फोटो काढता येतील?

येथे, n = 4 व r = 4

∴    4p4 = 4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24

एखाद्या समूहातील सर्व किंवा काही घटकांची वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त किती प्रकारे निवड करता येते त्यांची संख्या म्हणजे Combination होय. याचा अर्थ यामध्ये क्रमाला महत्त्व नसते.

सूत्र  nCr =n!/(n-r)!r!

उदा. (6) पुरुष व 4 स्त्रियांमधून 5 सदस्यांच्या समितीत फक्त दोन स्त्रियांची निवड करताना वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त किती प्रकारांमध्ये ही समिती स्थापन करता येऊ शकते?

येथे 5 सदस्यांपकी 2 स्त्रिया म्हणजे 3 पुरुष असणार, म्हणून अपेक्षित संख्या

=  6C3 X 4C2 =  6!/3!3! X  4!/2!2!

= 20 X 6

= 120